Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение. Задача 4math100admin44242025-03-23T22:26:51+03:00
Задача 4. Вычислите \(\dfrac{{\sin {{78}^ \circ }-\sin {{38}^ \circ }}}{{\cos {{168}^ \circ }-\cos {{128}^ \circ }}}\)
Решение
Воспользуемся формулами преобразования разности синусов и косинусов в произведение:
\(\sin \alpha -\sin \beta = 2\sin \dfrac{{\alpha -\beta }}{2}\cos \dfrac{{\alpha + \beta }}{2};\)
\(\cos \alpha -\cos \beta = -2\sin \dfrac{{\alpha + \beta }}{2}\sin \dfrac{{\alpha -\beta }}{2}.\)
\(\dfrac{{\sin {{78}^ \circ }-\sin {{38}^ \circ }}}{{\cos {{168}^ \circ }-\cos {{128}^ \circ }}} = \dfrac{{2\sin {{20}^ \circ }\cos {{58}^ \circ }}}{{-2\sin {{148}^ \circ }\sin {{20}^ \circ }}} = -\dfrac{{\cos {{58}^ \circ }}}{{\sin \left( {{{90}^ \circ } + {{58}^ \circ }} \right)}} = -\dfrac{{\cos {{58}^ \circ }}}{{\cos {{58}^ \circ }}} = -1.\)
Ответ: \(-1.\)