Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение. Задача 9math100admin44242025-03-23T22:36:40+03:00
Задача 9. Вычислите \(\left( {{\text{tg}}\,{5^ \circ } + {\text{tg}}\,{{25}^ \circ }} \right) \cdot \sin {85^ \circ }\sin {65^ \circ }\)
Решение
Воспользуемся формулой преобразования суммы тангенсов:
\({\rm{tg}}\alpha + {\rm{tg}}\beta = \dfrac{{\sin \left( {\alpha + \beta } \right)}}{{\cos \alpha \cos \beta }}.\)
\(\left( {{\rm{tg}}{5^ \circ } + {\rm{tg}}{{25}^ \circ }} \right) \cdot \sin {85^ \circ } \cdot \sin {65^ \circ } = \dfrac{{\sin {{30}^ \circ } \cdot \sin \left( {{{90}^ \circ }-{5^ \circ }} \right) \cdot \sin \left( {{{90}^ \circ }-{{25}^ \circ }} \right)}}{{\cos {5^ \circ } \cdot \cos {{25}^ \circ }}} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{\cos {5^ \circ } \cdot \cos {{25}^ \circ }}}{{\cos {5^ \circ } \cdot \cos {{25}^ \circ }}} = 0,5.\)
Ответ: 0,5.