Преобразование произведений тригонометрических функций в сумму. Задача 13

ОТВЕТ: 1.

Воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в разность:

\(\sin \alpha \sin \beta  = \dfrac{1}{2}\left( {\cos \left( {\alpha -\beta } \right)-\cos \left( {\alpha  + \beta } \right)} \right).\)

\(\dfrac{1}{{2\sin {{10}^ \circ }}}-2\sin {70^ \circ } = \dfrac{{1-4\sin {{10}^ \circ }\sin {{70}^ \circ }}}{{2\sin {{10}^ \circ }}} = \dfrac{{1-4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \left( {\cos \left( {-{{60}^ \circ }} \right)-\cos {{80}^ \circ }} \right)}}{{2\sin {{10}^ \circ }}} = \)

\( = \dfrac{{1-2 \cdot \dfrac{1}{2} + 2\cos {{80}^ \circ }}}{{2\sin {{10}^ \circ }}} = \dfrac{{2\cos \left( {{{90}^ \circ }-{{10}^ \circ }} \right)}}{{2\sin {{10}^ \circ }}} = \dfrac{{\sin {{10}^ \circ }}}{{\sin {{10}^ \circ }}} = 1.\)

Ответ:  1.