Преобразование произведений тригонометрических функций в сумму. Задача 14

ОТВЕТ: 2.

Воспользуемся формулой преобразования произведения синуса и косинуса в сумму:

\(\sin \alpha \cos \beta  = \dfrac{1}{2}\left( {\sin \left( {\alpha -\beta } \right) + \sin \left( {\alpha  + \beta } \right)} \right).\)

\(\dfrac{{{\rm{tg}}{{60}^ \circ }}}{{\sin {{40}^ \circ }}} + 4\cos {100^ \circ } = \dfrac{{\sqrt 3  + 4\sin {{40}^ \circ }\cos {{100}^ \circ }}}{{\sin {{40}^ \circ }}} = \dfrac{{\sqrt 3  + 4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \left( {\sin \left( {-{{60}^ \circ }} \right) + \sin {{140}^ \circ }} \right)}}{{\sin {{40}^ \circ }}} = \)

\( = \dfrac{{\sqrt 3  + 2 \cdot \left( {-\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) + 2\sin {{140}^ \circ }}}{{\sin {{40}^ \circ }}} = \dfrac{{\sqrt 3 -\sqrt 3  + 2\sin \left( {{{180}^ \circ }-{{40}^ \circ }} \right)}}{{\sin {{40}^ \circ }}} = \dfrac{{2\sin {{40}^ \circ }}}{{\sin {{40}^ \circ }}} = 2.\)

Ответ:  2.