Преобразование произведений тригонометрических функций в сумму. Задача 18math100admin44242025-03-24T10:39:35+03:00
Задача 18. Вычислите \(2\sin {35^ \circ } \cdot \cos {10^ \circ } + 2{\sin ^2}{32^ \circ }30′-\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Решение
Воспользуемся формулой преобразования произведения синуса и косинуса в сумму:
\(\sin \alpha \cos \beta = \dfrac{1}{2}\left( {\sin \left( {\alpha -\beta } \right) + \sin \left( {\alpha + \beta } \right)} \right)\)
и формулой понижения степени:
\({\sin ^2}\alpha = \dfrac{{1-\cos 2\alpha }}{2}.\)
\(2\sin {35^ \circ }\cos {10^ \circ } + 2{\sin ^2}{32^ \circ }30′-\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \)
\( = 2 \cdot \dfrac{1}{2}\left( {\sin \left( {{{35}^ \circ }-{{10}^ \circ }} \right) + \sin \left( {{{35}^ \circ } + {{10}^ \circ }} \right)} \right) + 2 \cdot \dfrac{{1-\cos {{65}^ \circ }}}{2}-\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \)
\( = \sin {25^ \circ } + \sin {45^ \circ } + 1-\cos {65^ \circ }-\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \sin {25^ \circ } + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} + 1-\cos \left( {{{90}^ \circ }-{{25}^ \circ }} \right)-\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \)
\( = \sin {25^ \circ } + 1-\sin {25^ \circ } = 1.\)
Ответ: 1.