Преобразование произведений тригонометрических функций в сумму. Задача 3math100admin44242025-03-24T09:27:01+03:00
Задача 3. Вычислите \(\left( {\sqrt 2 -1} \right)\cos \dfrac{{7\pi }}{{24}}\cos \dfrac{\pi }{{24}}\)
Решение
Воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму:
\(\cos \alpha \cos \beta = \dfrac{1}{2}\left( {\cos \left( {\alpha -\beta } \right) + \cos \left( {\alpha + \beta } \right)} \right).\)
\(\left( {\sqrt 2 -1} \right)\cos \dfrac{{7\pi }}{{24}}\cos \frac{\pi }{{24}} = \dfrac{{\sqrt 2 -1}}{2}\left( {\cos \dfrac{\pi }{4} + \cos \dfrac{\pi }{3}} \right) = \)
\( = \dfrac{{\sqrt 2 -1}}{2} \cdot \left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} + \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{{\left( {\sqrt 2 -1} \right)\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}{4} = \dfrac{1}{4} = 0,25.\)
Ответ: 0,25.