Преобразование произведений тригонометрических функций в сумму. Задача 4math100admin44242025-03-24T09:32:32+03:00
Задача 4. Вычислите \(\left( {\sqrt {12} -\sqrt 8 } \right)\sin \dfrac{{11\pi }}{{24}}\cos \dfrac{{5\pi }}{{24}}\)
Решение
Воспользуемся формулой преобразования произведения синуса и косинуса в сумму:
\(\sin \alpha \cos \beta = \dfrac{1}{2}\left( {\sin \left( {\alpha -\beta } \right) + \sin \left( {\alpha + \beta } \right)} \right).\)
\(\left( {\sqrt {12} -\sqrt 8 } \right)\sin \dfrac{{11\pi }}{{24}}\cos \dfrac{{5\pi }}{{24}} = \dfrac{{\sqrt {12} -\sqrt 8 }}{2}\left( {\sin \dfrac{\pi }{4} + \sin \dfrac{{2\pi }}{3}} \right) = \)
\( = \dfrac{{\left( {2\sqrt 3 -2\sqrt 2 } \right)}}{2} \cdot \left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = \dfrac{{2\left( {\sqrt 3 -\sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}}{{2 \cdot 2}} = 0,5.\)
Ответ: 0,5.