Преобразование произведений тригонометрических функций в сумму. Задача 6math100admin44242025-03-24T09:39:44+03:00
Задача 6. Вычислите \(\sqrt 2 \left( {\cos \dfrac{{3\pi }}{{16}}\,\cos \dfrac{\pi }{{16}}-\cos \dfrac{{5\pi }}{{16}}\,\cos \dfrac{{3\pi }}{{16}}} \right)\)
Решение
Воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму:
\(\cos \alpha \cos \beta = \dfrac{1}{2}\left( {\cos \left( {\alpha -\beta } \right) + \cos \left( {\alpha + \beta } \right)} \right).\)
\(\sqrt 2 \left( {\cos \dfrac{{3\pi }}{{16}}\cos \dfrac{\pi }{{16}}-\cos \dfrac{{5\pi }}{{16}}\cos \dfrac{{3\pi }}{{16}}} \right) = \sqrt 2 \cdot \left( {\dfrac{1}{2}\left( {\cos \dfrac{\pi }{8} + \cos \dfrac{\pi }{4}} \right)-\dfrac{1}{2} \cdot \left( {\cos \dfrac{\pi }{8} + \cos \dfrac{\pi }{2}} \right)} \right) = \)
\( = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \left( {\cos \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}-\cos \dfrac{\pi }{8}-0} \right) = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = 0,5.\)
Ответ: 0,5.