Упрощение тригонометрических выражений. Задача 16

Задача 16. Докажите тождество \({\sin ^6}\alpha + {\cos ^6}\alpha + 3{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha = 1\)

Решение

Воспользуемся формулой: \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2}-ab + {b^2}} \right).\)

\({\sin ^6}\alpha + {\cos ^6}\alpha + 3{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha = \)

\( = \left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)\left( {{{\sin }^4}\alpha -{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha + {{\cos }^4}\alpha } \right) + 3{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha = \)

\( = {\sin ^4}\alpha -{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha + {\cos ^4}\alpha + 3{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha = \)

\( = {\sin ^4}\alpha + 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha + {\cos ^4}\alpha = {\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)^2} = {1^2} = 1.\)