Упрощение тригонометрических выражений. Задача 17

Воспользуемся формулами косинуса и синуса двойного угла:

\(\cos 2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha -1;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha .\)

\(1-\dfrac{1}{4}{\sin ^2}2\alpha  + \cos 2\alpha  = 1-\dfrac{1}{4}{\left( {2\sin \alpha \cos \alpha } \right)^2} + 2{\cos ^2}\alpha -1 = \)

\( = -\dfrac{1}{4} \cdot 4{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha  + 2{\cos ^2}\alpha  = -\left( {1-{{\cos }^2}\alpha } \right){\cos ^2}\alpha  + 2{\cos ^2}\alpha  = \)

\( = -{\cos ^2}\alpha  + {\cos ^4}\alpha  + 2{\cos ^2}\alpha  = {\cos ^2}\alpha  + {\cos ^4}\alpha .\)