Упрощение тригонометрических выражений. Задача 20

\(\dfrac{{\sin 7\alpha }}{{\sin \alpha }}-2\left( {\cos 2\alpha  + \cos 4\alpha  + \cos 6\alpha } \right)-1 = \dfrac{{\sin 7\alpha }}{{\sin \alpha }}-2\left( {2\cos 4\alpha  \cdot \cos 2\alpha  + \cos 4\alpha } \right)-1 = \)

\( = \dfrac{{\sin 7\alpha -\sin \alpha }}{{\sin \alpha }}-2\cos 4\alpha \left( {2\cos 2\alpha  + 1} \right) = \dfrac{{2\sin 3\alpha \cos 4\alpha }}{{\sin \alpha }}-2\cos 4\alpha \left( {2\cos 2\alpha  + 1} \right) = \)

\( = 2\cos 4\alpha \left( {\dfrac{{\sin 3\alpha }}{{\sin \alpha }}-2\cos 2\alpha -1} \right) = 2\cos 4\alpha  \cdot \dfrac{{\sin 3\alpha -\sin \alpha -2\sin \alpha \cos 2\alpha }}{{\sin \alpha }} = \)

\( = 2\cos 4\alpha  \cdot \dfrac{{2\sin \alpha \cos 2\alpha -2\sin \alpha \cos 2\alpha }}{{\sin \alpha }} = 0.\)