Упрощение тригонометрических выражений. Задача 22

В правой части воспользуемся формулой:  \(\sin 3\alpha  = 3\sin \alpha -4{\sin ^3}\alpha .\)

Тогда:

\(\dfrac{{\sin 3\alpha }}{{\sin \alpha }} = \dfrac{{3\sin \alpha -4{{\sin }^3}\alpha }}{{\sin \alpha }} = \dfrac{{\sin \alpha \left( {3-4{{\sin }^2}\alpha } \right)}}{{\sin \alpha }} = 3-4{\sin ^2}\alpha .\)

В левой части воспользуемся формулой:

\(\sin \alpha \cos \beta  = \dfrac{1}{2}\left( {\sin \left( {\alpha -\beta } \right) + \sin \left( {\alpha  + \beta } \right)} \right).\)

\(4\cos \left( {\dfrac{\pi }{6}-\alpha } \right)\sin \left( {\dfrac{\pi }{3}-\alpha } \right) = 4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \left( {\sin \left( {\dfrac{\pi }{3}-\alpha -\dfrac{\pi }{6} + \alpha } \right) + \sin \left( {\dfrac{\pi }{3}-\alpha  + \dfrac{\pi }{6}-\alpha } \right)} \right) = \)

\( = 2\left( {\sin \dfrac{\pi }{6} + \sin \left( {\dfrac{\pi }{2}-2\alpha } \right)} \right) = 2 \cdot \left( {\dfrac{1}{2} + \cos 2\alpha } \right) = 1 + 2\left( {1-2{{\sin }^2}\alpha } \right) = 3-4{\sin ^2}\alpha .\)