Упрощение тригонометрических выражений. Задача 26math100admin44242025-03-24T12:43:01+03:00
Задача 26. Упростите выражение \({\sin ^2}\alpha + \cos \,\left( {{{60}^ \circ } + \alpha } \right) \cdot \cos \,\left( {{{60}^ \circ }-\alpha } \right)\)
Решение
Воспользуемся формулой: \(\cos \alpha \cos \beta = \dfrac{1}{2}\left( {\cos \left( {\alpha -\beta } \right) + \cos \left( {\alpha + \beta } \right)} \right).\)
\({\sin ^2}\alpha + \cos \left( {{{60}^ \circ } + \alpha } \right) \cdot \cos \left( {{{60}^ \circ }-\alpha } \right) = \)
\( = {\sin ^2}\alpha + \dfrac{1}{2}\left( {\cos \left( {{{60}^ \circ } + \alpha -{{60}^ \circ } + \alpha } \right) + \cos \left( {{{60}^ \circ } + \alpha + {{60}^ \circ }-\alpha } \right)} \right) = \)
\( = {\sin ^2}\alpha + \dfrac{1}{2}\left( {\cos 2\alpha + \cos {{120}^ \circ }} \right) = {\sin ^2}\alpha + \dfrac{1}{2}\left( {1-2{{\sin }^2}\alpha -\dfrac{1}{2}} \right) = {\sin ^2}\alpha + \dfrac{1}{4}-{\sin ^2}\alpha = \dfrac{1}{4}.\)
Ответ: \(\dfrac{1}{4}.\)