Упрощение тригонометрических выражений. Задача 27math100admin44242025-03-24T12:44:26+03:00
Задача 27. Упростите выражение \({\text{tg}}\,\alpha -\dfrac{{{{\sin }^3}\alpha + {{\cos }^3}\alpha }}{{\cos \alpha \,\left( {1-\cos \alpha \cdot \sin \alpha } \right)}}\)
Решение
Воспользуемся формулой: \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2}-ab + {b^2}} \right).\)
\({\rm{tg}}\alpha -\dfrac{{{{\sin }^3}\alpha + {{\cos }^3}\alpha }}{{\cos \alpha \left( {1-\cos \alpha \cdot \sin \alpha } \right)}} = \)
\( = {\rm{tg}}\alpha -\dfrac{{\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)\left( {{{\sin }^2}\alpha -\sin \alpha \cos \alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)}}{{\cos \alpha \left( {1-\cos \alpha \cdot \sin \alpha } \right)}} = \)
\( = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}-\dfrac{{\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)\left( {1-\sin \alpha \cos \alpha } \right)}}{{\cos \alpha \left( {1-\cos \alpha \sin \alpha } \right)}} = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}-\dfrac{{\sin \alpha + \cos \alpha }}{{\cos \alpha }} = \)
\( = \dfrac{{\sin \alpha -\sin \alpha -\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} = \dfrac{{-\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} = -1.\)
Ответ: \(-1.\)