Упрощение тригонометрических выражений. Задача 29

ОТВЕТ: \(2\,{\text{tg}}\,\alpha \).

Воспользуемся формулой суммы котангенсов:  \({\rm{ctg}}\alpha  + {\rm{ctg}}\beta  = \dfrac{{\sin \left( {\alpha  + \beta } \right)}}{{\sin \alpha \sin \beta }}.\)

\({\rm{ctg}}\left( {{{45}^ \circ }-\dfrac{\alpha }{2}} \right) + {\rm{ctg}}\left( {{{135}^ \circ }-\dfrac{\alpha }{2}} \right) = \dfrac{{\sin \left( {{{45}^ \circ }-\dfrac{\alpha }{2} + {{135}^ \circ }-\dfrac{\alpha }{2}} \right)}}{{\sin \left( {{{45}^ \circ }-\dfrac{\alpha }{2}} \right)\sin \left( {{{135}^ \circ }-\dfrac{\alpha }{2}} \right)}} = \)

\( = \dfrac{{\sin \left( {{{180}^ \circ }-\alpha } \right)}}{{\sin \left( {{{45}^ \circ }-\dfrac{\alpha }{2}} \right)\sin \left( {{{90}^ \circ } + {{45}^ \circ }-\dfrac{\alpha }{2}} \right)}} = \dfrac{{2\sin \alpha }}{{2\sin \left( {{{45}^ \circ }-\dfrac{\alpha }{2}} \right)\cos \left( {{{45}^ \circ }-\dfrac{\alpha }{2}} \right)}} = \)

\( = \dfrac{{2\sin \alpha }}{{\sin \left( {2 \cdot \left( {{{45}^ \circ }-\dfrac{\alpha }{2}} \right)} \right)}} = \dfrac{{2\sin \alpha }}{{\sin \left( {{{90}^ \circ }-\alpha } \right)}} = \dfrac{{2\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = 2{\rm{tg}}\alpha .\)

Ответ:  \(2{\rm{tg}}\alpha .\)