Упрощение тригонометрических выражений. Задача 33

ОТВЕТ: \(-\cos \alpha \).

\(\left( {{\rm{tg}}\dfrac{\alpha }{2}-{\rm{ctg}}\dfrac{\alpha }{2}} \right):\left( {{\rm{tg}}\dfrac{\alpha }{2}{\rm{ + ctg}}\dfrac{\alpha }{2}} \right) = \left( {\dfrac{{\sin \dfrac{\alpha }{2}}}{{\cos \dfrac{\alpha }{2}}}-\dfrac{{\cos \dfrac{\alpha }{2}}}{{\sin \dfrac{\alpha }{2}}}} \right):\left( {\dfrac{{\sin \dfrac{\alpha }{2}}}{{\cos \dfrac{\alpha }{2}}} + \dfrac{{\cos \dfrac{\alpha }{2}}}{{\sin \dfrac{\alpha }{2}}}} \right) = \)

\( = \dfrac{{{{\sin }^2}\dfrac{\alpha }{2}-{{\cos }^2}\dfrac{\alpha }{2}}}{{\cos \dfrac{\alpha }{2}\sin \dfrac{\alpha }{2}}}:\dfrac{{{{\sin }^2}\dfrac{\alpha }{2} + {{\cos }^2}\dfrac{\alpha }{2}}}{{\cos \dfrac{\alpha }{2}\sin \dfrac{\alpha }{2}}} = \dfrac{{-\left( {{{\cos }^2}\dfrac{\alpha }{2}-{{\sin }^2}\dfrac{\alpha }{2}} \right)}}{{\cos \dfrac{\alpha }{2}\sin \dfrac{\alpha }{2}}} \cdot \dfrac{{\cos \dfrac{\alpha }{2} \cdot \sin \dfrac{\alpha }{2}}}{1} = -\cos \alpha .\)

Ответ:  \(-\cos \alpha .\)