Упрощение тригонометрических выражений. Задача 34math100admin44242025-03-24T14:18:52+03:00
Задача 34. Упростите выражение \(\dfrac{{{{\cos }^2}\left( {\dfrac{{5\pi }}{4}-2\alpha } \right)-{{\sin }^2}\left( {\dfrac{{5\pi }}{4}-2\alpha } \right)}}{{\left( {\cos \dfrac{\alpha }{2} + \sin \dfrac{\alpha }{2}} \right)\,\left( {\cos \,\left( {2\pi -\dfrac{\alpha }{2}} \right) + \cos \,\left( {\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{\alpha }{2}} \right)} \right)\sin \alpha }}\)
Ответ
ОТВЕТ: \(4\cos 2\alpha \).
Решение
\(\dfrac{{{{\cos }^2}\left( {\dfrac{{5\pi }}{4}-2\alpha } \right)-{{\sin }^2}\left( {\dfrac{{5\pi }}{4}-2\alpha } \right)}}{{\left( {\cos \dfrac{\alpha }{2} + \sin \dfrac{\alpha }{2}} \right)\left( {\cos \left( {2\pi -\dfrac{\alpha }{2}} \right) + \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{\alpha }{2}} \right)} \right)\sin \alpha }} = \)
\( = \dfrac{{\cos \left( {\dfrac{{5\pi }}{2}-4\alpha } \right)}}{{\left( {\cos \dfrac{\alpha }{2} + \sin \dfrac{\alpha }{2}} \right)\left( {\cos \dfrac{\alpha }{2}-\sin \dfrac{\alpha }{2}} \right)\sin \alpha }} = \dfrac{{\sin 4\alpha }}{{\left( {{{\cos }^2}\dfrac{\alpha }{2}-{{\sin }^2}\dfrac{\alpha }{2}} \right)\sin \alpha }} = \)
\( = \dfrac{{2\sin 2\alpha \cos 2\alpha }}{{\cos \alpha \sin \alpha }} = \dfrac{{4\sin \alpha \cos \alpha \cos 2\alpha }}{{\cos \alpha \sin \alpha }} = 4\cos 2\alpha .\)
Ответ: \(4\cos 2\alpha .\)