Упрощение тригонометрических выражений. Задача 39math100admin44242025-03-24T15:59:44+03:00
Задача 39. Упростите выражение \({\sin ^2}2\alpha + {\sin ^2}\beta + \cos \,\left( {2\alpha + \beta } \right)\,\cos \,\left( {2\alpha -\beta } \right)\)
Решение
\({\sin ^2}2\alpha + {\sin ^2}\beta + \cos \left( {2\alpha + \beta } \right)\cos \left( {2\alpha -\beta } \right) = {\sin ^2}2\alpha + {\sin ^2}\beta + \dfrac{1}{2}\left( {\cos 2\beta + \cos 4\alpha } \right) = \)
\( = {\sin ^2}2\alpha + {\sin ^2}\beta + \dfrac{1}{2}\left( {1-2{{\sin }^2}\beta + 1-2{{\sin }^2}2\alpha } \right) = \)
\( = {\sin ^2}2\alpha + {\sin ^2}\beta + \dfrac{1}{2}-{\sin ^2}\beta + \dfrac{1}{2}-{\sin ^2}2\alpha = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1.\)
Ответ: 1.