Упрощение тригонометрических выражений. Задача 41math100admin44242025-03-24T16:03:33+03:00
Задача 41. Упростите выражение \({\sin ^2}\left( {{{135}^ \circ }-2\alpha } \right)-{\sin ^2}\left( {{{210}^ \circ }-2\alpha } \right)-\sin {195^ \circ }\cos \left( {{{165}^ \circ }-4\alpha } \right)\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\sin 4\alpha \).
Решение
\({\sin ^2}\left( {{{135}^ \circ }-2\alpha } \right)-{\sin ^2}\left( {{{210}^ \circ }-2\alpha } \right)-\sin {195^ \circ }\cos \left( {{{165}^ \circ }-4\alpha } \right) = \)
\( = \dfrac{{1-\cos \left( {{{270}^ \circ }-4\alpha } \right)}}{2}-\dfrac{{1-\cos \left( {{{420}^ \circ }-4\alpha } \right)}}{2}-\dfrac{1}{2}\left( {\sin \left( {{{30}^ \circ } + 4\alpha } \right) + \sin \left( {{{360}^ \circ }-4\alpha } \right)} \right) = \)
\( = \dfrac{1}{2}\sin 4\alpha + \dfrac{1}{2}\cos \left( {{{60}^ \circ }-4\alpha } \right)-\dfrac{1}{2}\sin \left( {{{30}^ \circ } + 4\alpha } \right) + \dfrac{1}{2}\sin 4\alpha = \)
\( = \sin 4\alpha + \dfrac{1}{2}\sin \left( {{{90}^ \circ }-\left( {{{60}^ \circ }-4\alpha } \right)} \right)-\dfrac{1}{2}\sin \left( {{{30}^ \circ } + 4\alpha } \right) = \)
\( = \sin 4\alpha + \dfrac{1}{2}\sin \left( {{{30}^ \circ } + 4\alpha } \right)-\dfrac{1}{2}\sin \left( {{{30}^ \circ } + 4\alpha } \right) = \sin 4\alpha .\)
Ответ: \(\sin 4\alpha .\)