Упрощение тригонометрических выражений. Задача 43math100admin44242025-03-24T16:07:52+03:00
Задача 43. Упростите выражение \(\dfrac{{1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha + \cos 3\alpha }}{{\cos \alpha + 2{{\cos }^2}\alpha -1}}\)
Ответ
ОТВЕТ: \(2\cos \alpha \).
Решение
Воспользуемся формулой суммы косинусов:
\(\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos \dfrac{{\alpha + \beta }}{2}\cos \dfrac{{\alpha -\beta }}{2}.\)
\(\dfrac{{1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha + \cos 3\alpha }}{{\cos \alpha + 2{{\cos }^2}\alpha -1}} = \dfrac{{1 + 2{{\cos }^2}\alpha -1 + 2\cos 2\alpha \cdot \cos \alpha }}{{\cos \alpha + \cos 2\alpha }} = \)
\( = \dfrac{{2\cos \alpha \left( {\cos \alpha + \cos 2\alpha } \right)}}{{\cos \alpha + \cos 2\alpha }} = 2\cos \alpha .\)
Ответ: \(2\cos \alpha .\)