Упрощение тригонометрических выражений. Задача 5

В левой части воспользуемся формулой суммы синусов:

\(\sin \alpha  + \sin \beta  = 2\sin \dfrac{{\alpha  + \beta }}{2}\cos \dfrac{{\alpha -\beta }}{2},\)

а в правой части формулой суммы косинусов:

\(\cos \alpha  + \cos \beta  = 2\cos \dfrac{{\alpha  + \beta }}{2}\cos \dfrac{{\alpha -\beta }}{2}.\)

\(\cos 2\alpha \left( {\sin \alpha  + \sin 3\alpha } \right) = \sin 2\alpha \left( {\cos \alpha  + \cos 3\alpha } \right)\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\cos 2\alpha  \cdot 2\sin 2\alpha \cos \alpha  = \sin 2\alpha  \cdot 2\cos 2\alpha \cos \alpha \,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sin 4\alpha \cos \alpha  = \sin 4\alpha \cos \alpha .\)