Упрощение тригонометрических выражений. Задача 62math100admin44242025-03-24T16:47:59+03:00
Задача 62. Найдите \(\dfrac{{3-\sin \alpha \,\cos \alpha }}{{6{{\cos }^2}\alpha -{{\sin }^2}\alpha }}\), если \({\text{tg}}\,\alpha = -2\)
Решение
\(\dfrac{{3-\sin \alpha \cos \alpha }}{{6{{\cos }^2}\alpha -{{\sin }^2}\alpha }} = \dfrac{{3{{\sin }^2}\alpha + 3{{\cos }^2}\alpha -\sin \alpha \cos \alpha }}{{6{{\cos }^2}\alpha -{{\sin }^2}\alpha }}.\)
Разделим числитель и знаменатель полученной дроби на \({\cos ^2}\alpha \). Тогда она примет вид:
\(\dfrac{{3{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\alpha + 3-{\rm{tg}}\alpha }}{{6-{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\alpha }} = \dfrac{{3 \cdot 4 + 3 + 2}}{{6-4}} = \dfrac{{17}}{2} = 8,5.\)
Ответ: 8,5.