Упрощение тригонометрических выражений. Задача 70

Ответ: \(\dfrac{{7\sqrt 2 }}{{26}}\).

Воспользуемся формулой косинуса суммы:

\(\cos \left( {2\alpha  + \dfrac{{5\pi }}{4}} \right) = \cos 2\alpha \cos \dfrac{{5\pi }}{4}-\sin 2\alpha \sin \dfrac{{5\pi }}{4} = -\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \dfrac{{{{\cos }^2}\alpha -{{\sin }^2}\alpha }}{1} + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \dfrac{{2\sin \alpha \cos \alpha }}{1} = \)

\( = -\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \left( {\dfrac{{{{\cos }^2}\alpha -{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha }}-\dfrac{{2\sin \alpha \cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha }}} \right).\)

Разделим числитель и знаменатель полученных дробей на \({\cos ^2}\alpha \). Получим:

\(-\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \left( {\dfrac{{1-{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\alpha }}{{{\rm{t}}{{\rm{g}}^{\rm{2}}}\alpha  + 1}}-\dfrac{{2{\rm{tg}}\alpha }}{{{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\alpha  + 1}}} \right) = -\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \left( {\dfrac{{1-\dfrac{4}{9}}}{{1 + \dfrac{4}{9}}}-\dfrac{{2 \cdot \dfrac{2}{3}}}{{1 + \dfrac{4}{9}}}} \right) = -\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\dfrac{5}{{13}}-\dfrac{{12}}{{13}}} \right) = \dfrac{{7\sqrt 2 }}{{26}}.\)

Ответ:  \(\dfrac{{7\sqrt 2 }}{{26}}.\)