Упрощение тригонометрических выражений. Задача 76math100admin44242025-03-24T17:13:06+03:00
Задача 76. Найдите \(\left( {1 + {\text{ctg}}\,\alpha } \right)\,\left( {1 + {\text{ctg}}\,\beta } \right)\), если \(\alpha + \beta = \dfrac{{3\pi }}{4}\)
Решение
Так как \(\alpha + \beta = \dfrac{{3\pi }}{4}\), то \(\beta = \dfrac{{3\pi }}{4}-\alpha \). Тогда:
\(\left( {1 + {\rm{ctg}}\alpha } \right) \cdot \left( {1 + {\rm{ctg}}\beta } \right) = \left( {1 + {\rm{ctg}}\alpha } \right) \cdot \left( {1 + {\rm{ctg}}\left( {\dfrac{{3\pi }}{4}-\alpha } \right)} \right) = \left( {1 + {\rm{ctg}}\alpha } \right) \cdot \left( {1 + \dfrac{{{\rm{ctg}}\dfrac{{3\pi }}{4} \cdot {\rm{ctg}}\alpha + 1}}{{{\rm{ctg}}\alpha -{\rm{ctg}}\dfrac{{3\pi }}{4}}}} \right) = \)
\( = \left( {1 + {\rm{ctg}}\alpha } \right) \cdot \left( {1 + \dfrac{{1-{\rm{ctg}}\alpha }}{{1 + {\rm{ctg}}\alpha }}} \right) = \left( {1 + {\rm{ctg}}\alpha } \right) \cdot \dfrac{{1 + {\rm{ctg}}\alpha + 1-{\rm{ctg}}\alpha }}{{1 + {\rm{ctg}}\alpha }} = 2.\)
Ответ: 2.