Упрощение тригонометрических выражений. Задача 77math100admin44242025-03-24T17:14:32+03:00
Задача 77. Найдите \(\dfrac{{2\sin 2\alpha -3\cos 2\alpha }}{{4\sin 2\alpha + 5\cos 2\alpha }}\), если \(\rm{tg}\alpha = 3\)
Решение
Воспользуемся формулами синуса и косинуса двойного угла:
\(\dfrac{{2\sin 2\alpha -3\cos 2\alpha }}{{4\sin 2\alpha + 5\cos 2\alpha }} = \dfrac{{4\sin \alpha \cos \alpha -3{{\cos }^2}\alpha + 3{{\sin }^2}\alpha }}{{8\sin \alpha \cos \alpha + 5{{\cos }^2}\alpha -5{{\sin }^2}\alpha }}.\)
Разделим числитель и знаменатель полученной дроби на \({\cos ^2}\alpha \). Тогда она примет вид:
\(\dfrac{{4{\rm{tg}}\alpha -3 + 3{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\alpha }}{{8{\rm{tg}}\alpha + 5-5{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\alpha }} = \dfrac{{12-3 + 27}}{{24 + 5-45}} = -\dfrac{9}{4}.\)
Ответ: \(-\dfrac{9}{4}.\)