Распишем \(\sin \alpha \) и \(\cos \alpha \) по формулам синуса и косинуса двойного угла:
\(\sin \alpha = 2\sin \dfrac{\alpha }{2}\cos \dfrac{\alpha }{2};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\cos \alpha = {\cos ^2}\dfrac{\alpha }{2}-{\sin ^2}\dfrac{\alpha }{2}.\)
\(\sin \alpha + \cos \alpha = \dfrac{1}{5}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{2\sin \dfrac{\alpha }{2}\cos \dfrac{\alpha }{2} + {{\cos }^2}\dfrac{\alpha }{2}-{{\sin }^2}\dfrac{\alpha }{2}}}{{{{\sin }^2}\dfrac{\alpha }{2} + {{\cos }^2}\dfrac{\alpha }{2}}} = \dfrac{1}{5}.\)
Разделим числитель и знаменатель полученной дроби на \({\cos ^2}\dfrac{\alpha }{2}\). Получим:
\(\dfrac{{2{\rm{tg}}\dfrac{\alpha }{2} + 1-{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\dfrac{\alpha }{2}}}{{{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\dfrac{\alpha }{2} + 1}} = \dfrac{1}{5}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\dfrac{\alpha }{2} + 1 = 10{\rm{tg}}\dfrac{\alpha }{2} + 5-5{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\dfrac{\alpha }{2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,3{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\dfrac{\alpha }{2}-5{\rm{tg}}\dfrac{\alpha }{2}-2 = 0.\)
Пусть \({\rm{tg}}\dfrac{\alpha }{2} = t\). Тогда: \(3{t^2}-5t-2 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = -\dfrac{1}{3},}\\{t = 2.\,\,\,}\end{array}} \right.\)
Следовательно: \({\rm{tg}}\dfrac{\alpha }{2} = -\dfrac{1}{3},\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{tg}}\dfrac{\alpha }{2} = 2.\)
Ответ: \(-\dfrac{1}{3};\,\,\,\,2.\)