Задача 10. Решите неравенство: \(2{\sin ^2}x + \sqrt 3 \sin x \geqslant 0.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left[ {2\pi k;\,\,\pi + 2\pi k} \right] \cup \left[ {\dfrac{{4\pi }}{3} + 2\pi k;\,\,\dfrac{{5\pi }}{3} + 2\pi k} \right],\,\,\,k \in Z.\)
Решение
\(2{\sin ^2}x + \sqrt 3 \sin x \ge 0.\)
Пусть \(\sin x = t.\) Тогда:
\(2{t^2} + \sqrt 3 t \ge 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}t \le -\dfrac{{\sqrt 3 }}{2},\\t \ge 0.\end{array} \right.\)
Возвращаясь к прежней переменной, получим:
\(\left[ \begin{array}{l}\sin x \le -\dfrac{{\sqrt 3 }}{2},\\\sin x \ge 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \in \left[ {2\pi k;\pi + 2\pi k} \right] \cup \left[ {\dfrac{{4\pi }}{3} + 2\pi k;\dfrac{{5\pi }}{3} + 2\pi k} \right],\,\,\,k\, \in \,Z.\)
Ответ: \(\left[ {2\pi k;\pi + 2\pi k} \right] \cup \left[ {\dfrac{{4\pi }}{3} + 2\pi k;\dfrac{{5\pi }}{3} + 2\pi k} \right],\,\,\,k\, \in \,Z.\)