Тригонометрические неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. Задача 11

Задача 11. Решите неравенство: \(2{\cos ^2}x-\sqrt 2 \cos x < 0.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {-\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k;\,\,-\dfrac{\pi }{4} + 2\pi k} \right) \cup \left( {\dfrac{\pi }{4} + 2\pi k;\,\,\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k} \right),\,\,\,k \in Z.\)

Решение

\(2{\cos ^2}x-\sqrt 2 \cos x < 0.\)

Пусть \(\cos x = t.\) Тогда:

\(2{t^2}-\sqrt 2 t < 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,0 < t < \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

Возвращаясь к прежней переменной, получим:

\(0 < \cos x < \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \in \left( {-\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k;-\dfrac{\pi }{4} + 2\pi k} \right) \cup \left( {\dfrac{\pi }{4} + 2\pi k;\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k} \right),\,\,\,k\, \in \,Z.\)

Ответ: \(\left( {-\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k;-\dfrac{\pi }{4} + 2\pi k} \right) \cup \left( {\dfrac{\pi }{4} + 2\pi k;\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k} \right),\,\,\,k\, \in \,Z.\)