Задача 12. Решите неравенство: \(4{\cos ^2}x + \sqrt {12} \cos x \geqslant 0.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left[ {-\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k;\,\,\frac{\pi }{2} + 2\pi k} \right] \cup \left[ {\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\,\,\dfrac{{7\pi }}{6} + 2\pi k} \right],\,\,\,k \in Z.\)
Решение
\(4{\cos ^2}x + \sqrt {12} \cos x \ge 0.\)
Пусть \(\cos x = t.\) Тогда:
\(4{t^2} + 2\sqrt 3 t \ge 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}t \le -\dfrac{{\sqrt 3 }}{2},\\t \ge 0.\end{array} \right.\)
Возвращаясь к прежней переменной, получим:
\(\left[ \begin{array}{l}\cos x \le -\dfrac{{\sqrt 3 }}{2},\\\cos x \ge 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \in \left[ {-\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k;\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k} \right] \cup \left[ {\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\dfrac{{7\pi }}{6} + 2\pi k} \right],\,\,\,k\, \in \,Z.\)
Ответ: \(\left[ {-\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k;\,\,\frac{\pi }{2} + 2\pi k} \right] \cup \left[ {\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\,\,\dfrac{{7\pi }}{6} + 2\pi k} \right],\,\,\,k \in Z.\)