Задача 14. Решите неравенство: \({\text{ctg}}{\,^2}x-\sqrt 3 {\text{ctg}}\,x \geqslant 0.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( {\pi k;\,\,\dfrac{\pi }{6} + \pi k} \right] \cup \left[ {\dfrac{\pi }{2} + \pi k;\,\pi + \pi k} \right),\,\,\,\,\,k \in Z.\)
Решение
\({\rm{ct}}{{\rm{g}}^2}x-\sqrt 3 {\rm{ctg}}x \ge 0.\)
Пусть \({\rm{ctg}}\,x = t.\) Тогда:
\({t^2}-\sqrt 3 t \ge 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}t \le 0,\\t \ge \sqrt 3 .\end{array} \right.\,\)
Возвращаясь к прежней переменной, получим:
\(\left[ \begin{array}{l}{\rm{ctg}}x \le 0,\\{\rm{ctg}}x \ge \sqrt 3 \end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \in \left( {\pi k;\frac{\pi }{6} + \pi k} \right] \cup \left[ {\dfrac{\pi }{2} + \pi k;\pi + \pi k} \right),\,\,\,k\, \in \,Z.\)
Ответ: \(\left( {\pi k;\dfrac{\pi }{6} + \pi k} \right] \cup \left[ {\dfrac{\pi }{2} + \pi k;\pi + \pi k} \right),\,\,\,k\, \in \,Z.\)