Тригонометрические неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. Задача 15

ОТВЕТ: \(\left( {\dfrac{\pi }{4} + \pi k;\,\,\dfrac{{3\pi }}{4} + \pi k} \right),\,\,\,k \in Z.\)

1 ВАРИАНТ

\({\sin ^2}x > \dfrac{1}{2}.\)

Пусть  \(\sin x = t.\)   Тогда:

\({t^2} > \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}t < -\dfrac{{\sqrt 2 }}{2},\\t > \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\end{array} \right.\)

Возвращаясь к прежней переменной, получим:

\(\left[ \begin{array}{l}\sin x < -\dfrac{{\sqrt 2 }}{2},\\\sin x > \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \in \,\left( {\frac{\pi }{4} + \pi k;\dfrac{{3\pi }}{4} + \pi k} \right),\,\,\,k\, \in \,Z.\)

2 ВАРИАНТ

\({\sin ^2}x > \dfrac{1}{2}.\)

Воспользуемся формулой понижения степени:   \({\sin ^2}\alpha  = \dfrac{{1-\cos 2\alpha }}{2}.\)

\({\sin ^2}x > \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{1-\cos 2x}}{2} > \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,1-\cos 2x > 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\cos 2x < 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k < 2x < \dfrac{{3\pi }}{2} + 2\pi k\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{\pi }{4} + \pi k < x < \dfrac{{3\pi }}{4} + \pi k,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)

Ответ:  \(\left( {\dfrac{\pi }{4} + \pi k;\dfrac{{3\pi }}{4} + \pi k} \right),\,\,\,k\, \in \,Z.\)