Тригонометрические неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. Задача 16

ОТВЕТ: \(\left[ {\dfrac{\pi }{4} + \pi k;\,\,\dfrac{{3\pi }}{4} + \pi k} \right],\,\,\,k \in Z.\)

1 ВАРИАНТ

Пусть  \(\cos x = t.\)   Тогда:

\({t^2} \le \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,-\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \le t \le \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

Возвращаясь к прежней переменной, получим:

\(-\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \le \cos x \le \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x\, \in \,\left[ {\dfrac{\pi }{4} + \pi k;\dfrac{{3\pi }}{4} + \pi k} \right],\,\,\,k\, \in \,Z.\)

2 ВАРИАНТ

\({\cos ^2}x \le \dfrac{1}{2}.\)

Воспользуемся формулой понижения степени:   \({\cos ^2}\alpha  = \dfrac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}.\)

\({\cos ^2}x \le \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} \le \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,1 + \cos 2x \le 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\cos 2x \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k \le 2x \le \dfrac{{3\pi }}{2} + 2\pi k\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{\pi }{4} + \pi k \le x \le \dfrac{{3\pi }}{4} + \pi k,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)

Ответ:  \(\left[ {\dfrac{\pi }{4} + \pi k;\dfrac{{3\pi }}{4} + \pi k} \right],\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)