Тригонометрические неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. Задача 17

Задача 17. Решите неравенство: \({\text{t}}{{\text{g}}^2}x > 1.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {-\dfrac{\pi }{2} + \pi k;\,\,-\dfrac{\pi }{4} + \pi k} \right) \cup \left( {\dfrac{\pi }{4} + \pi k;\,\,\dfrac{\pi }{2} + \pi k} \right),\,\,\,k \in Z.\)

Решение

\({\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x > 1.\)

Пусть \({\rm{tg}}\,x = t.\) Тогда:

\({t^2} > 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}t < -1,\\t > 1.\end{array} \right.\)

Возвращаясь к прежней переменной, получим:

\(\left[ \begin{array}{l}{\rm{tg}}x < -1,\\{\rm{tg}}x > 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \in \left( {-\dfrac{\pi }{2} + \pi k;-\dfrac{\pi }{4} + \pi k} \right) \cup \left( {\dfrac{\pi }{4} + \pi k;\dfrac{\pi }{2} + \pi k} \right),\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)

Ответ: \(\left( {-\dfrac{\pi }{2} + \pi k;-\dfrac{\pi }{4} + \pi k} \right) \cup \left( {\dfrac{\pi }{4} + \pi k;\dfrac{\pi }{2} + \pi k} \right),\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)