Задача 20. Решите неравенство: \(2{\cos ^2}x + \cos x-1 < 0.\)
ОТВЕТ: \(\left( {\dfrac{\pi }{3} + 2\pi k;\,\,\pi + 2\pi k} \right) \cup \left( {\pi + 2\pi k;\,\,\dfrac{{5\pi }}{3} + 2\pi k} \right),\,\,\,k \in Z.\)
\(2{\cos ^2}x + \cos x-1 < 0.\) Пусть \(\cos x = t.\) Тогда: \(2{t^2} + t-1 < 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,-1 < t < \dfrac{1}{2}.\) Возвращаясь к прежней переменной, получим: \(-1 < \cos x < \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \in \left( {\dfrac{\pi }{3} + 2\pi k;\pi + 2\pi k} \right) \cup \left( {\pi + 2\pi k;\dfrac{{5\pi }}{3} + 2\pi k} \right),\,\,\,\,k\, \in \,Z.\) Ответ: \(\left( {\dfrac{\pi }{3} + 2\pi k;\pi + 2\pi k} \right) \cup \left( {\pi + 2\pi k;\dfrac{{5\pi }}{3} + 2\pi k} \right),\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)