Тригонометрические неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. Задача 20

ОТВЕТ: \(\left( {\dfrac{\pi }{3} + 2\pi k;\,\,\pi  + 2\pi k} \right) \cup \left( {\pi  + 2\pi k;\,\,\dfrac{{5\pi }}{3} + 2\pi k} \right),\,\,\,k \in Z.\)

\(2{\cos ^2}x + \cos x-1 < 0.\)

Пусть  \(\cos x = t.\)   Тогда:

\(2{t^2} + t-1 < 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,-1 < t < \dfrac{1}{2}.\)

Возвращаясь к прежней переменной, получим:

\(-1 < \cos x < \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \in \left( {\dfrac{\pi }{3} + 2\pi k;\pi  + 2\pi k} \right) \cup \left( {\pi  + 2\pi k;\dfrac{{5\pi }}{3} + 2\pi k} \right),\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)

Ответ:  \(\left( {\dfrac{\pi }{3} + 2\pi k;\pi  + 2\pi k} \right) \cup \left( {\pi  + 2\pi k;\dfrac{{5\pi }}{3} + 2\pi k} \right),\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)