Задача 23. Решите неравенство: \(2\sin x-\dfrac{1}{{\sin x}} + 1 \geqslant 0.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left[ {\dfrac{\pi }{6} + 2\pi k;\,\,\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k} \right] \cup \left( {\pi + 2\pi k;\,\,2\pi + 2\pi k} \right),\,\,\,\,k \in Z.\)
Решение
\(2\sin x-\dfrac{1}{{\sin x}} + 1 \ge 0.\)
Пусть \(\sin x = t.\) Тогда:
\(2t-\dfrac{1}{t} + 1 \ge 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{2{t^2} + t-1}}{t} \ge 0.\)
Следовательно: \(t \in \left[ {-1;\,0} \right) \cup \left[ {\dfrac{1}{2};\, + \infty } \right).\) Возвращаясь к прежней переменной, получим:
\(\left[ \begin{array}{l}-1 \le \sin x < 0,\\\sin x \ge \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \in \left[ {\dfrac{\pi }{6} + 2\pi k;\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k} \right] \cup \left( {\pi + 2\pi k;2\pi + 2\pi k} \right),\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)
Ответ: \(\left[ {\dfrac{\pi }{6} + 2\pi k;\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k} \right] \cup \left( {\pi + 2\pi k;2\pi + 2\pi k} \right),\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)