Задача 24. Решите неравенство: \(2\cos x-\dfrac{1}{{\cos x}}-1 \leqslant 0.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( {-\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k;\,\,\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k} \right) \cup \left[ {\dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi k;\,\,\dfrac{{4\pi }}{3} + 2\pi k} \right],\,\,\,\,k \in Z.\)
Решение
\(2\cos x-\dfrac{1}{{\cos x}}-1 \le 0.\)
Пусть \(\cos x = t.\) Тогда:
\(2t-\dfrac{1}{t}-1 \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{2{t^2}-t-1}}{t} \le 0.\)
Следовательно: \(t \in \,\left( {-\infty ;\,-\dfrac{1}{2}} \right] \cup \,\left( {0;\,1} \right].\) Возвращаясь к прежней переменной, получим:
\(\left[ \begin{array}{l}\cos x \le -\dfrac{1}{2},\\0 < \cos x \le 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \in \left( {-\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k;\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k} \right) \cup \left[ {\dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi k;\dfrac{{4\pi }}{3} + 2\pi k} \right],\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)
Ответ: \(\left( {-\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k;\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k} \right) \cup \left[ {\dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi k;\dfrac{{4\pi }}{3} + 2\pi k} \right],\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)