Задача 25. Решите неравенство: \({\text{tg}}\,x-\dfrac{3}{{{\text{tg}}\,x}} > 0.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( {-\dfrac{\pi }{3} + \pi k;\,\,\pi k} \right) \cup \left( {\dfrac{\pi }{3} + \pi k;\,\,\dfrac{\pi }{2} + \pi k} \right),\,\,\,k \in Z.\)
Решение
\({\rm{tg}}\,x-\dfrac{3}{{{\rm{tg}}\,x}} > 0.\)
Пусть \({\rm{tg}}\,x = t.\) Тогда:
\(t-\dfrac{3}{t} > 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{{t^2}-3}}{t} > 0.\)
Следовательно: \(t \in \,\left( {-\sqrt 3 ;\,0} \right) \cup \left( {\sqrt 3 ;\, + \infty } \right).\) Возвращаясь к прежней переменной, получим:
\(\left[ \begin{array}{l}-\sqrt 3 < {\rm{tg}}\,x < 0,\\{\rm{tg}}\,x > \sqrt 3 \end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \in \left( {-\dfrac{\pi }{3} + \pi k;\pi k} \right) \cup \left( {\dfrac{\pi }{3} + \pi k;\dfrac{\pi }{2} + \pi k} \right),\,\,\,\,k \in \,Z.\)
Ответ: \(\left( {-\dfrac{\pi }{3} + \pi k;\pi k} \right) \cup \left( {\dfrac{\pi }{3} + \pi k;\dfrac{\pi }{2} + \pi k} \right),\,\,\,\,k \in \,Z.\)