Тригонометрические неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. Задача 27

ОТВЕТ: \(2\pi k,\,\,\,\,k \in Z.\)

\({\sin ^2}x + 2 \le 2\cos x\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,1-{\cos ^2}x + 2-2\cos x \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\cos ^2}x + 2\cos x-3 \ge 0.\)

Пусть  \({\rm{cos}}\,x = t.\)   Тогда:

\({t^2} + 2t-3 \ge 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}t \le -3,\\t \ge 1.\end{array} \right.\)

Возвращаясь к прежней переменной, получим:

\(\left[ \begin{array}{l}\cos x \le -3,\\\cos x \ge 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 2\pi k,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)

Ответ:  \(2\pi k,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)