Задача 29. Решите неравенство: \(\sin 4x \geqslant \cos 2x.\)
ОТВЕТ: \(\left[ {\dfrac{\pi }{{12}} + \pi k;\,\,\dfrac{\pi }{4} + \pi k} \right] \cup \left[ {\dfrac{{5\pi }}{{12}} + \pi k;\,\,\dfrac{{3\pi }}{4} + \pi k} \right],\,\,\,k \in Z.\)
\(\sin 4x \ge \cos 2x\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2\sin 2x\cos 2x-\cos 2x \ge 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\cos 2x\left( {2\sin 2x-1} \right) \ge 0.\) Функция \({f_1}\left( x \right) = \sin 2x\) имеет период \({T_1} = \pi \), а функция \({f_2}\left( x \right) = \cos 2x\) имеет период \({T_2} = \pi \). Следовательно, функция \(f\left( x \right) = \cos 2x\left( {2\sin 2x-1} \right)\) имеет период \(T = {\rm{\pi }}.\) Решим исходное неравенство методом интервалов на промежутке \(\left[ {0;\pi } \right].\) Найдём нули функции \(f\left( x \right)\) на промежутке \(\left[ {0;\pi } \right].\) \(\cos 2x\left( {2\sin 2x-1} \right) = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0,\\2\sin 2x-1 = 0,\end{array} \right.\\0 \le x \le {\rm{\pi }}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{\rm{\pi }}}{4},\\x = \dfrac{{{\rm{3\pi }}}}{4},\\x = \dfrac{{\rm{\pi }}}{{12}},\\x = \dfrac{{5{\rm{\pi }}}}{{12}}.\end{array} \right.\) Следовательно, на промежутке \(\left[ {0;\pi } \right]\) неравенство имеет решение \(x \in \left[ {\dfrac{{\rm{\pi }}}{{12}};\dfrac{{\rm{\pi }}}{4}} \right] \cup \left[ {\dfrac{{{\rm{5\pi }}}}{{12}};\dfrac{{{\rm{3\pi }}}}{4}} \right],\) а с учётом периодичности \(x \in \left[ {\dfrac{\pi }{{12}} + \pi k;\dfrac{\pi }{4} + \pi k} \right] \cup \left[ {\dfrac{{5\pi }}{{12}} + \pi k;\dfrac{{3\pi }}{4} + \pi k} \right],\,\,\,\,k\, \in \,Z.\) Ответ: \(\left[ {\dfrac{\pi }{{12}} + \pi k;\dfrac{\pi }{4} + \pi k} \right] \cup \left[ {\dfrac{{5\pi }}{{12}} + \pi k;\dfrac{{3\pi }}{4} + \pi k} \right],\,\,\,\,k\, \in \,Z.\) 