Тригонометрические неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. Задача 30

ОТВЕТ: \(\left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + 4\pi k;\,\dfrac{{4\pi }}{3} + 4\pi k} \right) \cup \left[ {2\pi  + 4\pi k;\,\,\dfrac{{8\pi }}{3} + 4\pi k} \right) \cup \left( {\dfrac{{10\pi }}{3} + 4\pi k;\,4\pi  + 4\pi k} \right],\,\,\,k \in Z.\)

\(\dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{{1 + 2\cos x}} \le 0.\)

Функция \({f_1}\left( x \right) = \sin \dfrac{x}{2}\) имеет период \({T_1} = 4\pi \), а функция \({f_2}\left( x \right) = \cos x\) имеет период \({T_2} = 2\pi \). Следовательно, функция \(f\left( x \right) = \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{{1 + 2\cos x}}\) имеет период \(T = 4\pi .\)

Решим исходное неравенство методом интервалов на промежутке \(\left[ {0;4\pi } \right].\)

Найдём нули числителя:

\(\sin \dfrac{x}{2} = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\dfrac{x}{2} = \pi k\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)

Найдём нули знаменателя:

\(1 + 2\cos x \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\cos x \ne -\dfrac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x \ne  \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi n,\,\,\,\,\,\,\,n\, \in \,Z.\)

Из нулей числителя \(x = 2\pi k,\,\,\,k\, \in \,Z\) промежутку \(\left[ {0;4\pi } \right]\) принадлежат \(x = 0,\,\,\,x = 2\pi ,\,\,\,x = 4\pi .\)

Из нулей знаменателя \(x \ne  \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi n,\,\,\,n\, \in \,Z\) промежутку \(\left[ {0;4\pi } \right]\) принадлежат \(x \ne \dfrac{{2\pi }}{3},\,\,\,x \ne \dfrac{{4\pi }}{3},\,\,\,x \ne \dfrac{{8\pi }}{3},\,\,\,x \ne \dfrac{{10\pi }}{3}.\)

Следовательно, на промежутке \(\left[ {0;4\pi } \right]\) неравенство имеет решение \(x\, \in \,\left\{ 0 \right\} \cup \left( {\dfrac{{2\pi }}{3};\dfrac{{4\pi }}{3}} \right) \cup \left[ {2\pi ;\dfrac{{8\pi }}{3}} \right) \cup \left( {\dfrac{{10\pi }}{3};4\pi } \right]\), а с учётом периодичности:

\(x\, \in \,\left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + 4\pi m;\dfrac{{4\pi }}{3} + 4\pi m} \right) \cup \left[ {2\pi  + 4\pi m;\dfrac{{8\pi }}{3} + 4\pi m} \right) \cup \left( {\dfrac{{10\pi }}{3} + 4\pi m;4\pi  + 4\pi m} \right],\,\,\,m\, \in \,Z.\)

Ответ:  \(\,\left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + 4\pi m;\dfrac{{4\pi }}{3} + 4\pi m} \right) \cup \left[ {2\pi  + 4\pi m;\dfrac{{8\pi }}{3} + 4\pi m} \right) \cup \left( {\dfrac{{10\pi }}{3} + 4\pi m;4\pi  + 4\pi m} \right],\,\,\,m\, \in \,Z.\)