\({\rm{arctg}}\left( {2\sin x} \right) = {\rm{arcctg}}\left( {\cos x} \right).\)
Значение арктангенса \(\left( {-\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right)\). Значение арккотангенса \(\left( {0;\pi } \right)\).
Следовательно, уравнение имеет решение, если
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x > 0,}\\{\cos x > 0}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \in \left( {2\pi k;\,\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k} \right),\,\,\,k \in Z.\)
\({\rm{tg}}\left( {{\rm{arctg}}\left( {2\sin x} \right)} \right) = {\rm{tg}}\left( {{\rm{arcctg}}\left( {\cos x} \right)} \right)\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2\sin x = \dfrac{1}{{\cos x}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2\sin x\cos x = 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\sin 2x = 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2x = \dfrac{\pi }{2} + 2\pi k\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{4} + 2\pi k,\,\,\,\,\,}\\{x = -\dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k}\end{array}\,\,\,k \in Z.} \right.\)
Решения \(x = -\dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z\) не удовлетворяет условию \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x > 0,}\\{\cos x > 0.}\end{array}} \right.\)
Проверкой убеждаемся, что решения \(x = \dfrac{\pi }{4} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z\) удовлетворяют исходному уравнению.
Ответ: \(\dfrac{\pi }{4} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)