Задача 13. Решите уравнение:    \({\text{arctg}}\,\sqrt {{x^2} + x}  + \arcsin \sqrt {{x^2} + x + 1}  = \dfrac{\pi }{2}.\)

Ответ

ОТВЕТ: -1;  0.

Решение

\({\rm{arctg}}\sqrt {{x^2} + x}  + \arcsin \sqrt {{x^2} + x + 1}  = \dfrac{\pi }{2}.\)

Пусть  \({x^2} + x = t.\)  Тогда уравнение примет вид:

\({\rm{arctg}}\sqrt t  + \arcsin \sqrt {t + 1}  = \dfrac{\pi }{2}.\,\)

Так как функции \(\sqrt t \) и \(\sqrt {t + 1} \) возрастающие при \(t \ge 0\) и функции \({\rm{arctg}}\,y\)  и \(\arcsin y\)  возрастающие, то функция  \(f\left( t \right) = {\rm{arctg}}\sqrt t  + \arcsin \sqrt {t + 1} \)  возрастающая и значение \(\dfrac{\pi }{2}\) может принимать только в одной точке. Подбором находим \(t = 0\), удовлетворяющее уравнению  \({\rm{arctg}}\sqrt t  + \arcsin \sqrt {t + 1}  = \dfrac{\pi }{2}.\,\)

Следовательно,  \({x^2} + x = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 0,\\x = -1.\end{array} \right.\)

Ответ:  \(-1;\,\,\,0.\)