Уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции. Задача 13math100admin44242025-03-26T11:08:28+03:00
Задача 13. Решите уравнение: \({\text{arctg}}\,\sqrt {{x^2} + x} + \arcsin \sqrt {{x^2} + x + 1} = \dfrac{\pi }{2}.\)
Решение
\({\rm{arctg}}\sqrt {{x^2} + x} + \arcsin \sqrt {{x^2} + x + 1} = \dfrac{\pi }{2}.\)
Пусть \({x^2} + x = t.\) Тогда уравнение примет вид:
\({\rm{arctg}}\sqrt t + \arcsin \sqrt {t + 1} = \dfrac{\pi }{2}.\,\)
Так как функции \(\sqrt t \) и \(\sqrt {t + 1} \) возрастающие при \(t \ge 0\) и функции \({\rm{arctg}}\,y\) и \(\arcsin y\) возрастающие, то функция \(f\left( t \right) = {\rm{arctg}}\sqrt t + \arcsin \sqrt {t + 1} \) возрастающая и значение \(\dfrac{\pi }{2}\) может принимать только в одной точке. Подбором находим \(t = 0\), удовлетворяющее уравнению \({\rm{arctg}}\sqrt t + \arcsin \sqrt {t + 1} = \dfrac{\pi }{2}.\,\)
Следовательно, \({x^2} + x = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 0,\\x = -1.\end{array} \right.\)
Ответ: \(-1;\,\,\,0.\)