Уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции. Задача 15

ОТВЕТ: \(\dfrac{4}{3};\,\,\,\dfrac{5}{3}.\)

\(\arccos \left( {3x-4} \right) = 2\,{\rm{arctg}}\left( {5-3x} \right).\)

1 Вариант:

Пусть  \({\rm{arctg}}\left( {5-3x} \right) = \alpha ,\)  тогда  \({\rm{tg}}\,\alpha  = 5-3x\)  и исходное уравнение примет вид:

\(\arccos \left( {3x-4} \right) = 2\alpha \,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\cos 2\alpha  = 3x-4.\)

Таким образом, получаем систему уравнений:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{tg}}\alpha  = 5-3x,\,\,\,\,\,\,}\\{\cos 2\alpha  = 3x-4}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}3x = 5-{\rm{tg}}\,\alpha ,\\\cos 2\alpha  = 5-{\rm{tg}}\,\alpha -4\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}3x = 5-{\rm{tg}}\,\alpha ,\\1-2{\sin ^2}\alpha  = 1-{\rm{tg}}\,\alpha \end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}3x = 5-{\rm{tg}}\,\alpha ,\\{\rm{tg}}\,\alpha -2{\sin ^2}\alpha  = 0.\end{array} \right.\)

Рассмотрим второе уравнение последней системы:

\({\rm{tg}}\alpha -2{\sin ^2}\alpha  = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\sin \alpha \left( {\dfrac{1}{{\cos \alpha }}-2\sin \alpha } \right) = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\sin \alpha  = 0,\\\sin 2\alpha  = 1,\end{array} \right.\\\cos \alpha  \ne 0.\end{array} \right.\)

Так как  \(2\alpha  = \arccos \left( {3x-4} \right)\),  а  \(0 \le \arccos \left( {3x-4} \right) \le \pi ,\)  то  \(0 \le \alpha  \le \dfrac{\pi }{2}.\)  Поэтому решением последней системы являются  \(\left[ \begin{array}{l}\alpha  = 0,\\\alpha  = \dfrac{\pi }{4}.\end{array} \right.\)

Тогда:  \(\left[ \begin{array}{l}3x-4 = \cos 0,\\3x-4 = \cos \left( {2 \cdot \dfrac{{\rm{\pi }}}{4}} \right)\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}3x-4 = 1,\\3x-4 = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{5}{3},\\x = \dfrac{4}{3}.\end{array} \right.\)

Проверкой убеждаемся, что оба корня удовлетворяют исходному уравнению.

2 Вариант:

\(\arccos \left( {3x-4} \right) = 2\,{\rm{arctg}}\left( {5-3x} \right).\)

Пусть  \({\rm{arctg}}\left( {5-3x} \right) = \alpha ,\)  тогда  \({\rm{tg}}\,\alpha  = 5-3x\)  \(\arccos \left( {3x-4} \right) = 2\alpha \,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\cos 2\alpha  = 3x-4.\)

Так как  \(\cos 2\alpha  = \dfrac{{1-{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\alpha }}{{1 + {\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\alpha }}\), то

\(3x-4 = \dfrac{{1-{{\left( {5-3x} \right)}^2}}}{{1 + {{\left( {5-3x} \right)}^2}}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\dfrac{{3x-4}}{1} = \dfrac{{\left( {3x-4} \right)\left( {6-3x} \right)}}{{1 + {{\left( {5-3x} \right)}^2}}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left( {3x-4} \right)\left( {1-\dfrac{{6-3x}}{{1 + {{\left( {5-3x} \right)}^2}}}} \right) = 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}3x-4 = 0,\\\,1 + {\left( {5-3x} \right)^2} = 6-3x\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{4}{3},\\\left( {5-3x} \right)\left( {5-3x-1} \right) = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{4}{3},\\x = \dfrac{5}{3}.\end{array} \right.\)

Проверкой убеждаемся, что оба корня удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ:  \(\dfrac{5}{3};\,\,\,\,\,\dfrac{4}{3}.\)