Уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции. Задача 16

Задача 16. Решите неравенство: \({\text{arcctg}}\left( {8{x^2}-6x-1} \right) \leqslant {\text{arcctg}}\left( {4{x^2}-x + 8} \right).\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;-1} \right] \cup \left[ {\dfrac{9}{4};\,\infty } \right).\)

Решение

\({\rm{arcctg}}\left( {8{x^2}-6x-1} \right) \le {\rm{arcctg}}\left( {4{x^2}-x + 8} \right).\)

Так как \(y = {\rm{arcctg}}x\) является убывающей функцией, то:

\({\rm{arcctg}}\left( {8{x^2}-6x-1} \right) \le {\rm{arcctg}}\left( {4{x^2}-x + 8} \right)\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,8{x^2}-6x-1 \ge 4{x^2}-x + 8\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,4{x^2}-5x-9 \ge 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x\, \in \,\left( {-\infty ;-1} \right] \cup \left[ {\dfrac{9}{4};\infty } \right).\)

Ответ: \(\,\left( {-\infty ;-1} \right] \cup \left[ {\dfrac{9}{4};\infty } \right).\)