Уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции. Задача 17

ОТВЕТ: \(\left[ {-\dfrac{1}{2};\,\dfrac{1}{2}\sin \dfrac{1}{3}} \right).\)

\(3\arcsin 2x < 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\arcsin 2x < \dfrac{1}{3}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\arcsin 2x < \arcsin \left( {\sin \dfrac{1}{3}} \right).\)

Так как  \(y = \arcsin x\) является возрастающей функцией, то последнее неравенство равносильно системе неравенств:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x < \sin \dfrac{1}{3},}\\{-1 \le 2x \le 1}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x < \dfrac{1}{2}\sin \dfrac{1}{3}\\-\dfrac{1}{2} \le x \le \dfrac{1}{2}.\end{array} \right.\)

Найдём общее решение последней системы:

Следовательно, решением исходного неравенства является \(x\, \in \,\left[ {-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\sin \dfrac{1}{3}} \right).\)

Ответ:  \(\,\left[ {-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\sin \dfrac{1}{3}} \right).\)