\(\arccos x + \arccos \left( {x\sqrt 2 } \right) + \arccos \left( {x\sqrt 3 } \right) \le \dfrac{{3\pi }}{4}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\arccos x + \arccos \left( {x\sqrt 2 } \right) + \arccos \left( {x\sqrt 3 } \right)-\dfrac{{3\pi }}{4} \le 0.\)
Запишем область определения исходного неравенства:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-1 \le x \le 1,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{-1 \le x\sqrt 2 \le 1,}\\{-1 \le x\sqrt 3 \le 1}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x\, \in \,\left[ {-\dfrac{{\sqrt 3 }}{3};\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right].\)
Левая часть неравенства представляет собой монотонно убывающую на отрезке \(\,\left[ {-\dfrac{{\sqrt 3 }}{3};\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right]\) функцию. Поэтому уравнение \(\arccos x + \arccos \left( {x\sqrt 2 } \right) + \arccos \left( {x\sqrt 3 } \right) = \dfrac{{3\pi }}{4}\) имеет не более одного корня. Заметим, что \(x = \dfrac{1}{2}\) – корень этого уравнения. Решим исходное неравенство методом интервалов:
Следовательно, решением исходного неравенства является отрезок \(x \in \left[ {\dfrac{1}{2};\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right].\)
Ответ: \(\left[ {\dfrac{1}{2};\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right].\)