Задача 22. Решите неравенство: \(\arcsin 2x + \arccos \left( {6x-2} \right) \leqslant \dfrac{{5\pi }}{6}.\)
ОТВЕТ: \(\left[ {\dfrac{1}{4};\,\dfrac{1}{2}} \right].\)
\(\arcsin 2x + \arccos \left( {6x-2} \right) \le \dfrac{{5\pi }}{6}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\arcsin 2x + \arccos \left( {6x-2} \right)-\dfrac{{5\pi }}{6} \le 0.\) Запишем область определения исходного неравенства: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-1 \le 2x \le 1,\,\,\,\,\,\,\,}\\{-1 \le 6x-2 \le 1}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-\dfrac{1}{2} \le x \le \dfrac{1}{2},}\\{\dfrac{1}{6} \le x \le \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x\, \in \,\left[ {\dfrac{1}{6};\dfrac{1}{2}} \right].\) Решим неравенство методом интервалов: \(\arcsin 2x = \dfrac{{5\pi }}{6}-\arccos \left( {6x-2} \right);\,\,\,\,\,\,\sin \left( {\arcsin 2x} \right) = \sin \left( {\dfrac{{5\pi }}{6}-\arccos \left( {6x-2} \right)} \right);\) \(2x = \dfrac{1}{2} \cdot \left( {6x-2} \right) + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sqrt {1-{{\left( {6x-2} \right)}^2}} \,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sqrt {1-36{x^2} + 24x-4} = 1-x\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}-9-108{x^2} + 72x = 4-8x + 4{x^2},\\1-x \ge 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}112{x^2}-80x + 13 = 0,\\x \le 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{4},\\x = \dfrac{{13}}{{28}}.\end{array} \right.\) Корень \(x = \dfrac{{13}}{{28}}\) не удовлетворяет уравнению \(\arcsin 2x = \dfrac{{5\pi }}{6}-\arccos \left( {6x-2} \right)\), так как \(\arcsin \dfrac{{13}}{{14}} < \dfrac{\pi }{2};\,\,\,\,\,\,\,\,\arccos \dfrac{{11}}{{14}} < \dfrac{\pi }{4},\) поэтому \(\arcsin \dfrac{{13}}{{14}} + \arcsin \dfrac{{11}}{{14}} < \dfrac{{5\pi }}{6},\) а корень \(x = \dfrac{1}{4}\) удовлетворяет. Следовательно, решением исходного неравенства является отрезок \(x \in \left[ {\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}} \right].\) Ответ: \(\left[ {\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}} \right].\) 