Задача 4. Решите уравнение: \(\arccos \dfrac{{7x + 5}}{{13}} = \arcsin \dfrac{{4x + 1}}{{13}}.\)
ОТВЕТ: 1.
\(\arccos \dfrac{{7x + 5}}{{13}} = \arcsin \dfrac{{4x + 1}}{{13}}\) Значение арккосинуса \(\left[ {0;\pi } \right]\). Значение арксинуса \(\left[ {-\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]\). Следовательно, исходное уравнение будет иметь решение, если значение левой и правой части \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right].\) Для этого должны выполняться условия: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le \dfrac{{7x + 5}}{{13}} \le 1,}\\{0 \le \dfrac{{4x + 1}}{{13}} \le 1}\end{array}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-\dfrac{5}{7} \le x \le \dfrac{8}{7},}\\{-\dfrac{1}{4} \le x \le 3\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x\, \in \,\left[ {-\dfrac{1}{4};\dfrac{8}{7}} \right].} \right.\) На отрезке \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]\) функция синус монотонная (возрастающая) и, следовательно, взяв синусы обеих частей уравнения при условии, что \(x \in \left[ {-\dfrac{1}{4};\dfrac{8}{7}} \right]\), получим равносильное уравнение. \(\sin \left( {\arccos \dfrac{{7x + 5}}{{13}}} \right) = \sin \left( {\arcsin \dfrac{{4x + 1}}{{13}}} \right).\) Воспользуемся тем, что: \(\sin \left( {\arccos a} \right) = \sqrt {1-{a^2}} \) и \(\sin \left( {\arcsin a} \right) = a\) при \(a \in \left[ {-1;\,1} \right]\). Тогда: \(\sin \left( {\arccos \dfrac{{7x + 5}}{{13}}} \right) = \sin \left( {\arcsin \dfrac{{4x + 1}}{{13}}} \right)\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\sqrt {1-{{\left( {\dfrac{{7x + 5}}{{13}}} \right)}^2}} = \dfrac{{4x + 1}}{{13}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{13^2}-{\left( {7x + 5} \right)^2} = {\left( {4x + 1} \right)^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,65{x^2} + 78x-143 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -\dfrac{{143}}{{65}},}\\{x = 1.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\) Корень \(x = -\dfrac{{143}}{{65}}\) не удовлетворяет условию \(x\, \in \,\left[ {-\dfrac{1}{4};\dfrac{8}{7}} \right]\). Ответ: 1.