Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. Задача 23

ОТВЕТ: \(-\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k;\,\,\,\,\,\dfrac{\pi }{6} + 2\pi k;\quad \,\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\quad k \in Z.\) 

\(2{\sin ^2}x + \sin x-1 = 0.\)

Пусть \(\sin x = t,\,\,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ {-1;1} \right]\). Тогда уравнение примет вид:

\(2{t^2} + t-1 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = -1,}\\{t = \dfrac{1}{2}.\,}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = -1,}\\{\sin x = \dfrac{1}{2}\,\,\,}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,} \right.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k,}\\{x = \dfrac{\pi }{6} + 2\pi k,\,\,\,}\\{x = \dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)

Ответ:  \(-\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k;\,\,\,\,\,\dfrac{\pi }{6} + 2\pi k;\quad \,\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)