Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. Задача 24

Задача 24. Решите уравнение: \(2{\cos ^2}x-\cos x-1 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(2\pi k;\quad \, \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)

Решение

\(2{\cos ^2}x-\cos x-1 = 0.\)

Пусть \(\cos x = t,\,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ {-1;1} \right]\). Тогда уравнение примет вид:

\(2{t^2}-t-1 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1,\,\,\,\,\,\,}\\{t = -\dfrac{1}{2}.}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 1,\,\,\,\,\,}\\{\cos x = -\dfrac{1}{2}}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x = \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)

Ответ: \(2\pi k;\quad \, \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)